Задача 1:

Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 78 карточек, пронумерованных числами от 1 до 78. Он выбирает из них 40 карточек и передает первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 38 карточек и, перемешав, передает эти три карточки второму фокуснику. Как фокусникам договориться, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трех карточек добавил зритель?

Задача 2:

При каких натуральных k, больших 2, но меньших 50, существует число, которое является суммой k идущих подряд натуральных чисел, но не является суммой m идущих подряд натуральных чисел при любом m от 2 до k – 1?

Задача 3:

В клетках прямоугольника 5 × 9 стоят 33 фишки. Ход состоит в том, что все фишки одновременно сдвигаются так, чтобы каждая фишка оказалась на клетке, соседней с исходной. При этом запрещается ставить две фишки на одну клетку (в том числе и в начальной позиции). Кроме того, если какая-то фишка передвинулась по горизонтали, то в следующий ход она должна передвигаться по вертикали, и наоборот. Докажите, что по этим правилам невозможно сделать подряд 100 ходов.

Задача 4:

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны, и каждая из них делит шестиугольник на две части равной площади. Докажите, что каждая из них делит шестиугольник на две части равного периметра.

Задача 5:

Можно ли отметить 2001 число так, чтобы для любого отмеченного числа x число 3x² – 2 тоже было отмеченным.

Задача 6:

В треугольнике ABC  ∠ B = 120. BL – биссектриса этого треугольника. K и M – основания перпендикуляров, опущенных из точки L на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что 2KM < AC.

Задача 7:

В группе из 100 людей среди любых троих есть человек, знающих обоих других. Докажите, что из этой группы можно выбрать компанию из 50 человек, в которой все знакомы друг с другом.

Задача 8:

По кругу расставлено n > 3 положительных чисел a₁, a₂, …  ,a_n, произведение которых равно 1. Доказать, что для этих чисел выполнено неравенство (a₁ + a₂)²(a₂ + a₃)² … (a_n + a₁)² > (a₁ + a₂ + a₃)(a₂ + a₃ + a₄) ×  …  × (a_n – 1 + a_n + a₁)(a_n + a₁ + a₂).