Задача 1: Доказать, что для произвольных n различных натуральных чисел выполняется неравенство

Задача 2: Из вершин A и A₁ куба ADCBA₁B₁C₁D₁ вдоль его рёбер начинают двигаться с одинаковой скоростью точки P и P₁. Точка P движется вдоль контура ABCDA, а точка P₁ — вдоль контура A₁D₁C₁B₁A₁. С какой скоростью и по какой траектории движется при этом середина отрезка PP₁?

Задача 3: Точка с координатами (x(t);y(t)) движется в координатной плоскости xOy так, что в каждый момент времени t выполняются равенства: , . Известно, что в некоторый момент времени точка имела координаты (12;3). Может ли эта точка в некоторый другой момент времени иметь координаты (6;5)?

Задача 4: После возведения в степень и приведения подобных членов число приводится к виду , где a и b — целые числа. Доказать, что a и b делятся на 2¹⁹⁸⁰.

Задача 5: Последовательности a_n и b_n заданы реккуррентными соотношениями

Доказать, что обе последовательности имеют пределы и найти их.

Задача 6: Прямой угол перемещается в координатной плоскости xOy так, что его стороны касаются параболы y = ax² (a > 0). Какую траекторию при этом описывает вершина прямого угла?

Задача 7: Найти все многочлены вида xⁿ  + a₁x^n – 1 +  …  + a_n – 1x  +  a_n, где |a_i| = 1, i = n, которые имеют n действительных корней.

Задача 8: Для квадратной таблицы (2n + 1) × (2n + 1), заполненной числами  – 1, 0 и 1, вычислили сумму чисел каждого столбца и каждой строки. Доказать, что среди этих сумм хотя бы две будут одинаковыми.