Задача 1: Вычислить для каждого  α  предел

где [x] означает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Задача 2: На плоскости даны правильный шестиугольник и вектор . Найти сумму ортогональных проекций вектора на стороны шестиугольника или на их продолжения.

Задача 3: Найти наибольшее натуральное n, для которого система неравенств

имеет хотя бы одно решение.

Задача 4: На бумажной ленте записана последовательность из 360 цифр 123123…123123…123. На какое наибольшее число частей можно разрезать эту ленту, чтобы все числа на полученных при этом кусочках ленты были различными?

Задача 5: В теннисном турнире принимали участие n женщин и 2n мужчин. Все участники турнира сыграли между собой по одному разу. Известно, что отношение числа побед, одержанных женщинами, к числу побед, одержанных мужчинами (ничьих не бывает), равно . Найти n.

Задача 6: В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H. Пусть AB = c, AC = b, BC = a, AH = x, BH = y, CH = z. Доказать, что abc = ayz + bxz + cxy.

Задача 7: Существуют ли арифметическая и геометрическая прогресии, для которых выполняются неравенства a₁ < b₁ < a₂ < b₂ <  …  < a₁₉₈₂ < b₁₉₈₂ ?

Задача 8: Модуль каждого из 100 чисел не превосходит 1, а их сумма равна нулю. Доказать, что:

а) Эти числа можно разбить на 10 групп по 10 чисел в каждой группе так, чтобы модуль суммы чисел в каждой группе не превышал 2;

б) Число 2 в предыдущем пункте нельзя заменить на 1.