Задача 1: Найти все натуральные числа m и n, для которых выполняется равенство

Задача 2: Паркет, покрывающий плоскость, состоит из правильных треугольников. Можно ли, используя 4 краски, раскрасить паркет так, чтобы каждый его треугольничек был закрашена в один цвет, а любые 4 треугольничка, образующие правильный треугольник, были разного цвета?

Задача 3: Каким соотношениям должны удовлетворять коэффициенты уравнения x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0, чтобы после некоторых тождественных преобразований и последующей замены переменной заданное уравнение сводилось к квадратному?

Задача 4:

Задача 5: Найти множество вершин всех парабол на координатной плоскости xOy, имеющих общую касательную с параболой y = x² в точке A(a;a²).

Задача 6: Прямоугольник разбит на квадраты так, как показано на рисунке. Известно, что площадь заштрихованного квадрата равна 1. Найти площадь прямоугольника.

Задача 7: Последовательность a_n ограничена и для любого n ≥ 3 выполняется неравенство a_n ≤ 3a_n – 1 – 3a_n – 2 + a_n – 3. Доказать, что эта последовательность сходящаяся.

Задача 8: Из точки O, расположенной внутри куба и не лежащей ни в одном из диагональных сечений, параллельно одной из диагоналей куба выпущен световой луч. Доказать, что отразившись по одному разу от каждой грани куба, луч вернется в точку O.