Задача 1:

Задача 2: В некоторых клетках шахматной доски размера n × n, n > 1, установлены лампочки. Известно, что каждые 4 клетки доски с общей вершиной содержат чётное число лампочек (то есть 0, 2 или 4). Доказать, что четыре угловые клетки доски тоже содержат чётное число лампочек.

Задача 3: Внутри треугольника ABC выбрана точка O и через неё проведены прямые OA, OB, OC до пересечения со сторонами BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Доказать, что сумма OA₁ + OB₁ + OC₁ меньше наибольшей из сторон треугольника ABC.

Задача 4: На круге последовательно через 120 записаны числа 1, 2 и 3. Круг прикреплен к доске так, что он может поворачиваться вокруг своего центра на углы, кратные 120. Вначале рядом с каждым числом 1, 2 и 3 на доске написан нуль. Разрешается поворачивать круг несколько раз и после каждого поворота к каждому из написанных на доске чисел прибавить то число, которое оказалось рядом с ним на круге. Можно ли в результате получить на доске записанные по ходу часовой стрелки числа 11, 11, 14?

Задача 5: Дан шестиугольник ABCDEF. Доказать, что его периметр P больше, чем ⅔(AD + BE + CF).

Задача 6: Вдоль дороги расставлены светофоры на расстоянии 1 км друг от друга. В течение 1 минуты с начала каждого часа на них загорается красный свет, запрещая проезд, а остальное время горит зеленый свет. Мотоциклист начинает движение с постоянной скоростью у светофора, на котором только что загорался красный свет и за 10 часов пути ни разу не встретил красного света (ни разу не затормозил). Какое наибольшее расстояние он мог проехать за это время?

Задача 7: Какое наибольшее значение может принимать разность (разность трёхзначного числа и суммы кубов его цифр)?

Задача 8: Каждую грань куба разбили на 4 одинаковых квадрата и каждый из получившихся квадратов покрасили одной из имеющихся 3 красок. Доказать, что если квадраты с общим ребром покрашены в разные цвета, то всего имеется по 8 квадратов каждого цвета. Привести пример такой раскраски.