Задача 1:

Задача 2: Доказать, что для углов A, B и C произвольного треугольника ABC выполнено неравенство

Для каких треугольников достигается равенство?

Задача 3: Найти целую часть числа

(знак корня встречается 1987 раз).

Задача 4: Доказать, что каждая плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер треугольной пирамиды, делит её на две одинаковые по объёму части.

Задача 5: Какие значения может принимать число x, если выполнены такие равенства:

Задача 6: Через вершины A₁, A₂ и A₃ треугольника A₁A₂A₃ соответственно провели три разных параллельных прямых l₁, l₂ и l₃. Пусть B_i, i = 1, 2, 3 — точка пересечения прямой l_i с противоположной вершине A_i стороной треугольника (или её продолжением). Найти отношение площади треугольника A₁A₂A₃ к площади треугольника B₁B₂B₃.

Задача 7: Известно, что натуральное число n не является точной четвертой степенью. Доказать, что дробная часть числа удовлетворяет неравенству

Задача 8: По окружности выписаны числа , сумма которых равна 1. С этими числами разрешается делать такие преобразования: если подряд идёт несколько отрицательных чисел , причём , то числа b₀, можно заменить соответственно на числа b₀ + s,  – b_k,  – b_k – 1, …,  – b₂,  – b₁, b₀ + s. Например, числа …, 1, 7, -3, -5, -2, 3, …можно заменить числами …, 1, -3, 2, 5, 3, -7, …(b₁ =  – 3, b₂ =  – 5, b₃ =  – 2, s =  – 10), или числами …, 1, 7, -10, 5, 2, -4, …(b₁ =  – 5, b₂ =  – 2) и т.д. Доказать, что такие преобразования нельзя делать сколь угодно долго (то есть рано или поздно в результате преобразований не останется ни одного отрицательного числа).