Задача 1: Доказать, что для любых положительных чисел выполняется неравенство

Задача 2: На бумаге в клетку с размером клеток 1 × 1 размещён многоугольник (не обязательно выпуклый), вершины которого лежат в узлах сетки, а стороны проходят только по сторонам и диагоналям клеток. Какую наибольшую площадь может иметь этот многоугольник, если его граница содержит 4n узлов сетки?

Задача 3: Киевское «Динамо», набрав 90% возможного числа очков, победило в футбольном турнире. Все участники турнира сыграли одинаковое количество матчей, за каждую победу команде начислялось 2 очка, за каждую ничью — 1 очко, за поражение ни одного. Известно, что каждый участник турнира набрал не менее 80% очков команды, занявшей предыдущее место. Какое наименьшее число команд могло участвовать в турнире?

Задача 4: Обозначим через S фигуру, образующую совокупность концов L векторов вида , где O — начало координат, точка X пробегает все точки выпуклой фигуры S₁, а точка Y — все точки выпуклой фигуры S₂ . Можно ли выбрать фигуры S₁ и S₂ так, чтобы каждая из них содержала более одной точки и фигура S совпадала с данной трапецией ABCD (все фигуры рассматриваются вместе со своими внутренними точками)?

Задача 5: Какие значения может принимать число x, если выполняются такие равенства:

Задача 6: Можно ли на бумаге в клетку с размером клеток 1 × 1 разместить правильный треугольник со стороной 2 так, чтобы он не накрыл ни одного узла?

Задача 7: Для каких натуральных n число является точным квадратом?

Задача 8: В выпуклом четырёхугольнике ABCD окружности, вписанные в треугольники ABC и CDA, касаются. Доказать, что окружности, вписанные в треугольники BCD и DAB, также касаются.