Задача 1: На каждой клетке доски размерами 9 × 9 сидит жук. По сигналу каждый жук переползает в одну из соседних по диагонали клеточек (см.рис.). При этом может оказаться, что в некоторых клетках будет по нескольку жуков, а некоторые клетки будут свободными. Найти наименьшее возможное число свободных клеток.

Задача 2: Дан равносторонний треугольник ABC. С центром в точке A радиусом AB описана дуга BC. Пусть M — произвольная точка дуги BC, отличная от B и C. Середины хорд MC и MB соединены отрезками соответственно с серединами сторон AB и AC. Доказать, что построенные отрезки взаимно перпендикулярны.

Задача 3: Среди всех треугольников, которые отсекаются от координатных осей Ox, Oy касательными к окружности x² + y² = a², найти тот, который имеет наименьшую площадь.

Задача 4: Найти все пары натуральных чисел, которые обладают таким свойством: если к любому из них прибавить 1, то оно разделится на другое.

Задача 5: Доказать, что если , то

Задача 6: Две вершины треугольника закреплены в точках A и B, а третья вершина C перемещается в плоскости так, что разность расстояний от неё до точек A и B постоянна. Доказать, что центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, лежат на одной прямой.