Задача 1: Доказать, что для произвольного значения x из интервала (0; π /2) выполняется неравенство

Задача 2:

Задача 3: Числа 105 последовательно выписаны в ряд. После этого изменён знак у каждого третьего числа, потом в полученной последовательности изменён знак у каждого пятого числа, и, наконец, в новой последовательности изменён знак у каждого седьмого числа. Найти сумму всех чисел в полученной последовательности.

Задача 4: На плоскости даны два одинаковых правильных n-угольника, которые пересекаются так, что образуется 2n-угольник, вообще говоря, неправильный. Стороны одного из n-угольников покрашены в красный цвет, второго — в синий. Доказать, что сумма квадратов всех синих сторон образованного 2n-угольника равна сумме квадратов его красных сторон.

Задача 5: Разложить на множители многочлен x⁴ + ax² + b, если известно, что a² < 4b.

Задача 6: Доказать, что сумма цифр числа 5³¹⁷ меньше 1990.

Задача 7: Длина хорды AB окружности радиуса 1 меньше . Прямая l, не пересекающая окружность, образует с прямой AB угол 45, внутри которого содержится центр окружности. Построить на прямой l такую точку C чтобы в случае, когда DE — дуга, отсекаемая на окружности углом ACB, прямая DE была перпендикулярна прямой AB.

Задача 8: Имеются 8 одинаковых кубиков с ребром 1. Произвольные 24 грани из всех 48 граней этих кубиков покрашены в белый цвет, а остальные 24 грани — в чёрный. Доказать, что из этих 8 кубиков можно сложить такой куб, что на его поверхности белых и чёрных квадратиков со стороной 1 будет поровну.