Задача 1: Доказать, что для любых неотрицательных чисел a и b выполнено неравенство a³ + 2b³ > 3ab².

Задача 2:

Задача 3: Натуральные числа 1990 в порядке возрастания записаны по окружности по часовой стрелке. Будем при каждом обходе, начиная с 1 и двигаясь по часовой стрелке, зачеркивать каждое второе из чисел, не зачеркнутых раньше, до тех пор, пока не останется одно число. Какое число останется?

Задача 4: В четырёхугольнике ABCD углы BAD и ABC равны по 100, а диагонали образуют со стороной AB углы 50 и 60. Какие углы образуют диагонали со стороной CD?

Задача 5:

Задача 6:

Задача 7: Дана шахматная доска 1990 × 1990. Разрешается одновременно заменить цвет (белый на чёрный, а чёрный на белый) у любых четырёх клеток, образующих фигуры такого вида, как показано на рисунке  . Можно ли в результате нескольких таких операций изменить цвет всех клеток шахматной доски на противоположный?

Задача 8: Дан треугольник ABC. Точка K — середина стороны AB, а точки L и M выбраны произвольно соответственно на сторонах BC и AC. Доказать, что S _∆ KLM < S _∆ BKL + S _∆ AKM.