Задача 1: Пара металлических стержней, сваренных в концах под прямым углом, образует один уголок. Из n² + n уголков сложена квадратная решетка, состоящую из n² клеток размером 1 × 1. Доказать, что количество уголков, стороны которых направлены вправо и вверх от вершины, равно количеству уголков, стороны которых направлены влево и вниз.

Задача 2: Решить уравнение [x]x + x = 2x + 10, где [x] и x — соответственно целая и дробная части числа x.

Задача 3: На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты точки E, F, G так, что AE:AB = x, BF:BC = y, CG:CA = z. Площадь треугольника ABC равна S. Вычислить площадь треугольника EFG.

Задача 4: На плоскости дана точка O и два одинаковых квадрата F₁ и F₂ площади S. Фигура F образована всеми такими точками B, что вектор можно записать в виде , где точка A₁ лежит в квадрате F₁, а точка A₂ — в квадрате F₂. Найти наименьшее и наибольшее возможные значения площади фигуры F в зависимости от взаимного расположения квадратов F₁ и F₂.

Задача 5: Даны три различных положительных числа. Доказать, что одно из них можно обозначить через a, другое — через b и третье — через c так, чтобы выполнялось неравенство

Задача 6: На сторонах треугольника ABC вне его построены параллелограммы APQC, BMNC и AEFB так, что четырёхугольник AECK также является параллелограммом (K — точка пересечения прямых PQ и MN). Доказать, что площадь параллелограмма AEFB равна сумме площадей параллелограммов APQC и BMNC.

Задача 7: В классе учится n учеников, и каждый день двое из них дежурят. На некоторый период времени нужно так составить график дежурств, чтобы для любых двух учеников нашёлся день, когда один из них дежурит, а другой — нет. Какое наименьшее количество дней может охватывать такой график?

Задача 8: Известно, что многочлен 2x³ – 60x² + ax, где a — целое число, при некоторых трёх натуральных последовательных значениях аргумента x принимает три последовательных натуральных значения. Найти эти значения многочлена.