Задача 1:
Задача 2:
Пусть AA
1, BB
1, CC
1 — биссектрисы треугольника
ABC. Доказать, что равенство

выполняется тогда и только тогда, когда треугольник ABC
правильный.
Задача 3:
Доказать, что не существует действительных чисел x, y,
z, удовлетворяющих системе уравнений

Задача 4:
Дана конечная последовательность действительных чисел

. Член a
k этой последовательности назовём отмеченным,
если среди чисел a
k, a
k + a
k + 1, …, a
k + a
k + 1 +
+ a
n хотя бы одно положительно. Доказать, что сумма всех отмеченных
чисел положительна.
Задача 5:
Найти наибольшее натуральное значение n, для которого
неравенство sin
nx + cos
nx > 1/2 выполняется для всех x из
отрезка [\,0; π /2].
Задача 6:
Точки A и B лежат на сторонах выпуклого многоугольника
F, а точка A
1 удовлетворяет соотношению

.
Обозначим через F
1 выпуклый многоугольник наименьшей площади,
содержащий многоугольник F и точку A
1. Доказать, что площадь
многоугольника F
1 не больше удвоенной площади многоугольника F.
Задача 7:
Доказать, что для произвольных чисел a, b, c, d из
отрезка [1;2] выполняется неравенство

Задача 8:
На шахматной доске 100 × 100 расположены 800
четырёхклеточных фигурок, имеющих форму буквы «T» в одной из
возможных ориентаций (см.рис. ). Каждая такая фигурка полностью
накрывает 4 клетки доски и никакие две фигурки не накрывают одну и ту
же клетку. Доказать, что на доску можно положить ещё одну фигурку
так, чтобы она полностью накрыла 4 свободные клетки.
