Задача 1: Доказать, что если при целых значениях x и y значение выражения (1900x + 93y)(1900y + 93x) делится на 1993, то оно делится и на 1993².

Задача 2:

Задача 3: Из бумаги в клетку вырезан квадрат 1993 × 1993, из которого затем вырезана одна угловая клетка. Двое игроков по очереди отрезают от этой фигуры квадраты произвольных размеров, и эти квадраты выбрасываются. Проигрывает тот, после чьего хода оставшаяся фигура распалась на куски (если части имеют хотя бы одну общую вершину, они не распадаются). Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?

Задача 4: Про натуральное число A известно, что его запись в двоичной системе счисления имеет вид 1*1****, а его запись в пятеричной системе счисления имеет вид 1**1 (звёздочки стоят на месте неизвестных цифр). Восстановить десятичную запись числа A.

Задача 5: Пусть D_n(k) — количество натуральных чисел от 1 до n включительно, произведение цифр которых равно k. Сравнить числа D₁₉₉₃(16) и D₁₉₉₃(32).

Задача 6: Известно, что a² + b² + c² = 1. Доказать, что (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≤ 3.

Задача 7: На плоскости даны окружность w, прямая l и точка M на ней. Для каждой окружности f, касающейся прямой l в точке M, строим точку X пересечения общих внешних касательных (если такие существуют) к окружностям w и f. Доказать, что множество точек X лежит на двух прямых.

Задача 8: В каждой клеточке таблицы 8 × 8 записано число: в 16 клеточках на диагоналях — единицы, а во всех остальных — нули. За один шаг разрешается выбрать в таблице произвольный квадрат 3 × 3 и увеличить на 1 каждое число выбранного квадрата. Доказать, что после 121 такого шага в таблице можно будет найти квадрат 4 × 4, в четырёх угловых клетках которого стоят числа, в сумме дающие 125.