ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Задачник первого-второго года обучения >> Уравнения в целых числахПоказать решения
Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Уравнения в целых числах

Задача 1: Найти все такие p, что p и 5p + 1 – простые.

Задача 2: Найти все такие p, что p,p + 10 и p + 14 – простые.

Задача 3: Найти все такие p, что p и p² + 2 – простые.

Задача 4: Является ли число 12345678926 квадратом?

Задача 5: Доказать, что следующие числа не являются квадратами: a) 12345678 b) 987654 c) 1234560 d) 98765445.

Задача 6: Доказать, что 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 +  …  + 98 • 99 • 100 ≠ 19891988.

Задача 7: Найти все p, такие что p, p² + 4, p² + 6 – простые числа.

Задача 8: Доказать, что n4 + 2n² + 3 не может быть простым.

Задача 9: Доказать, что число 2 + 4 + 6 +  …  + 2n не может быть

a) квадратом

b) кубом целого числа.

Задача 10: Решить в целых числах: 2x + 5y = xy – 1.

Задача 11: Найти все p, такие что p и p6 + 6 – простые.

Задача 12: Найти все p, такие что p и 3p² + 1 – простые

Задача 13: Найти все p, такие что p и 2p² + 1 – простые.

Задача 14: Доказать, что произведение 6 последовательных натуральных чисел не может быть равно 776965920.

Задача 15: Доказать, что уравнение x² + 1990 = y² не имеет решений в целых числах.

Задача 16: Доказать, что уравнение 4k – 4l = 10n не имеет решений в целых числах.

Задача 17: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде a) x² + y² b) x² + y² + z² c) x³ + y³ + z³.

Задача 18: Доказать, что число 53 • 83 • 109 + 40 • 66 • 96 – составное.

Задача 19: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 4(xy + yz + zx).

Задача 20: Решить в целых числах: x² + y² + z² = 2xyz.

Задача 21: Решить в целых числах: , b и c – простые.

Задача 22: Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Задача 23: Есть 100 купюр типов: по a и b рублей. (a не равно b). Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма делится на 101 рубль без остатка.

Задача 24: a) Решить в целых числах: .

b) . Доказать, что .

Задача 25: Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде n² + p (p – простое).

Задача 26: Доказать, что 32n – 1

a) делится на 2n + 2.

b) не делится на 2n + 3.

Задача 27: Найти все натуральные n, для которых 2n + 33 – точный квадрат.

Задача 28: Решить в целых числах: a² + b² = 3(c² + d²).

Задача 29: Найти наименьшее значение выражения (k, l – натуральные числа).

Задача 30: Решить в простых числах: pqr = 7(p + q + r).

Задача 31: Решить в натуральных числах: 3N + 55 = m².

Задача 32: Решить в натуральных числах: 1 + x + x² + x³ = 2y.

Задача 33: Решить в целых числах: 5x³ + 11y³ + 13z³ = 0.

Задача 34: Решить в натуральных числах: .

Задача 35: Разложить на множители: x³ + y³ + z³ – 3xyz.

Задача 36: a – фиксированное натуральное число. Доказать, что уравнение x! = y² + a² имеет лишь конечное число решений (x,y).


http://bezopasnosti.ru/ установка и монтаж пожарной сигнализации москва.


Задачная база >> Разное >> Задачник первого-второго года обучения >> Уравнения в целых числахПоказать решения