Задача 15:

Найдите остатки от деления

а) 1989 • 1990 • 1991 + 1992³ на 7;

б) 9¹ºº на 8.

Задача 16:

Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

Задача 17:

Докажите, что n⁵ + 4n делится на 5 при любом натуральном n.

Задача 18:

Докажите, что n² + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Задача 19:

Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

Задача 20:

Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечетном n.

Задача 21:

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.

б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Задача 22:

Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Задача 23:

a и b – натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Задача 24:

a, b, c – натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a³ + b³ + c³ тоже делится на 6.

Задача 25:

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

Задача 26:

Докажите, что сумма квадратов трех натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

Задача 27:

Сумма трех натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Задача 28:

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Задача 29:

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Задача 30:

На какую цифру оканчивается число 777⁷⁷⁷?

Задача 31:

Найдите остаток от деления 2¹ºº на 3.

Задача 32:

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

Задача 33:

Докажите, что 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² делится на 7.

Задача 34:

Найдите последнюю цифру числа .

Задача 35:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.

б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.

Задача 36:

p и 8p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Задача 37:

p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p³ + 2 – также простое число.

Задача 38:

Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что a² – 3b² = 8.

Задача 39:

а) Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Задача 40:

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Задача 41:

p, 4p² + 1 и 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Ответ: p = 5. Рассмотрите остатки при делении на 5.

Задача 42:

Докажите, что число 100 … 00500 … 001 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Задача 43:

Докажите, что a³ + b³ + 4 не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

Задача 44:

Докажите, что число 6n³ + 3 не является шестой степенью целого числа ни при каком натуральном n.

Задача 45:

x, y, z – натуральные числа, причем x² + y² = z². Докажите, что xy делится на 12.