Задача 46:

а) a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7a делится на 3.

б) 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.

Задача 47:

Найдите последнюю цифру числа 1² + 2² +  …  + 99².

Задача 48:

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

Задача 49:

Докажите, что сумма n последовательных нечетных натуральных чисел при n > 1 является составным числом.

Задача 50:

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Задача 51:

Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.

Задача 52:

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, …, n + 1989 – составные.

Задача 53:

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.