Задача 47:

Нарисуйте 4-звенную ломаную, проходящую через 9 точек, изображенных на рисунке.

Задача 48:

Как разрезать квадрат на 5 прямоугольников, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

Задача 49:

Можно ли нарисовать замкнутую 8-звенную ломаную, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?

Задача 50:

Можно ли разрезать квадрат на несколько тупоугольных треугольников?

Задача 51:

Верно ли, что среди любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Задача 52:

Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на каждом из них пересекались только две дороги.

Задача 53:

Можно ли расположить на плоскости 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с четырьмя другими?

Задача 54:

Замостите плоскость одинаковыми 5-угольниками.

Задача 55:

Разрежьте прямоугольник 3 × 9 на 8 квадратов.

Задача 56:

Докажите, что квадрат можно разрезать на 1989 квадратов.

Задача 57:

Как разрезать произвольный треугольник на 3 части, из которых можно сложить прямоугольник?

Задача 58:

Точка M находится на стороне AB, а точка K – на стороне BC треугольника ABC. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что если OM = OK, и равны углы KAC и MCA, то треугольник ABC – равнобедренный.

Задача 59:

Высота AK, биссектриса BH и медиана CM треугольника ABC пересекаются в одной точке O, причем AO = BO. Докажите, что треугольник ABC – равносторонний.

Задача 60:

В 6-угольнике ABCDEF треугольники ABC, ABF, FED, CDB, FEA, CDE равны. Докажите, что равны диагонали AD, BE, CF.

Задача 61:

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CH и медиана BK, причем BK = CH, а также равны углы KBC и HCB. Докажите, что треугольник ABC – равносторонний.

Задача 62:

В точке O пересекаются диагонали AC и BD 4-угольника ABCD. Периметры треугольников ABC и ABD равны. Равны и периметры треугольников ACD и BCD. Докажите, что AO = BO.

Задача 63:

Докажите, что звезду (см. рисунок) нельзя нарисовать так, чтобы выполнялись условия: BC > AB, DE > CD, FG > EF, HI > GH, KA > IK.