Задача 62:

Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.

Решение:

Найдем сначала какое-нибудь конкретное решение (эта идея, кстати, часто помогает и при решении других задач). Так как 3 • 2 + 5 • ( – 1) = 1, то 3 • 14 + 5 • ( – 7) = 7 и, следовательно, x₀ = 14, y₀ =  – 7 – это решение нашего уравнения (одно из многих, не более!). Итак,

Вычтем одно уравнение из другого, обозначим x – x₀ и y – y₀ через a и b, и получим 3a + 5b = 0. Отсюда мы видим, что b делится на 3, а a – на 5. Положим a = 5k, тогда b =  – 3k – здесь k, очевидно, может быть любым целым числом. Итак, мы получаем набор решений:

где k может быть любым целым числом. Других решений, конечно, нет.

Задача 63:

Найдите все целые решения уравнения 3x – 12y = 7.

Решение:

Это уравнение не имеет целых решений. Левая часть делится на 3, в то время как правая часть не делится на 3.

Задача 64:

Решите уравнение 1990x – 173y = 11.

Решение:

Числа, участвующие в формулировке, так велики, что подбором здесь конкретного решения не найти. Однако нам поможет то, что числа 1990 и 173 взаимно просты (проверьте это).

Лемма. Их НОД, равный 1, можно представить в виде 1990m – 173n, где m и n – некоторые целые числа.

Доказательство этой леммы следует из того факта, что все числа, которые получаются в процессе алгоритма Евклида, представимы в указанном виде.

Конкретно, в данном случае, используя алгоритм Евклида, можно получить m = 2, n = 23. Итак, при помощи такого мощного оружия, как алгоритм Евклида, мы получаем конкретное решение вспомогательного уравнения 1990m – 173n = 1: пару (2, 23). Следовательно, x₀ = 22, y₀ = 253 – решение уравнения 1990x – 173y = 11. Дальше получаем, что

k – любое целое число.

Задача 65:

Найдите все целые решения уравнения 21x + 48y = 6.

Решение:

x = 16k – 2, y =  – 7k + 1; k – любое целое число.

Задача 66:

Решите уравнение 2x + 3y + 5z = 11 в целых числах.

Решение:

x = 5p + 3q – 11, y = 11 – 5p – 2q, z = p; p, q – любые целые числа.

Задача 67:

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево. При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку? За какое наименьшее число ходов она сможет это сделать?

Решение:

При взаимно простых m и n.

Задача 68:

(2x + y)(5x + 3y) = 7.

Решение:

( – 4,9), (14, – 21), (4, – 9), ( – 14,21).

Задача 69:

xy = x + y + 3.

Решение:

Так как xy – x – y = 3, то (x – 1)(y – 1) = 4. Осталось только перебрать возможные разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Ответ: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, – 3), ( – 3,0), (3,3), ( – 1, – 1).

Задача 70:

x² = 14 + y².

Решение:

Решений в целых числах нет.

Задача 71:

x² + y² = x + y + 2.

Решение:

(2,0), (2,1), ( – 1,0), ( – 1,1), (0,2), (1,2), (0, – 1), (1, – 1).

Вот как решается задача 69. Так как xy – x – y = 3, то (x – 1)(y – 1) = 4. Осталось только перебрать возможные разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Ответ: (x = 5,y = 2), (2,5), (0, – 3), ( – 3,0), (3,3), ( – 1, – 1).

Задача 72:

x² + y² = 4z – 1.

В самом деле, посмотрим, какие остатки могут давать точные квадраты по модулю 4 (выбор модуля 4 подсказан нам самим видом правой части уравнения). Недолгий перебор показывает, что это остатки 0 и 1. Так как сумма двух остатков такого вида не может давать остаток  – 1, то мы получаем, что решений данное уравнение не имеет.

Задача 73:

x² – 7y = 10.

Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 7).

Задача 74:

x³ + 21y² + 5 = 0.

Решение:

Так как x³ может по модулю 7 быть сравнимым лишь с 0, 1 и  – 1, то выражение x³ + 21y² + 5 сравнимо  (mod %)%7 с 5, 6 или с 4, и, следовательно, не может быть равным нулю.

Задача 75:

15x² – 7y² = 9.

Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 5).

Задача 76:

x² + y² + z² = 8t – 1.

Решение:

Решений в целых числах нет (модуль 8).

Задача 77:

3^m + 7 = 2ⁿ.

Решение:

По модулю 3 левая часть сравнима с 1, и отсюда мы делаем вывод, что n – четно, т.е. n = 2k. Уравнение преобразуется к виду 3^m + 7 = 4^k. Теперь в игру включается модуль 4. 4^k – 7 = 1 (mod %)%4, и мы видим, что и m четно, т.е. m = 2p. Итак, мы имеем уравнение 3^2p + 7 = 2^2k. Преобразуем уравнение: 7 = 2^2k – 3^2p = (2^k – 3^p)(2^k + 3^p). Отсюда 2^k + 3^p = 7, 2^k – 3^p = 1, и мы получаем единственное решение k = 2, p = 1, т.е. m = 2, n = 4.

Задача 78:

3 • 2^m + 1 = n².

Решение:

Сразу ясно, что n не делится на 3 и, значит, n = 3k + 1 или n = 3k + 2. Разберем оба случая.

а) n = 3k + 2, 3 • 2^m + 1 = 9k² + 12k + 4. Сокращая, получаем 2^m = 3k² + 4k + 1 = (3k + 1)(k + 1). Следовательно, и k + 1 и 3k + 1 – степени двойки. Видно, что и k = 0 и k = 1 подходят, и мы получаем решения n = 2, m = 1 и n = 5, m = 3. Но при k ≥ 2 4(k + 1) > 3k + 1 > 2(k + 1) и, следовательно, k + 1 и 3k + 1 не могут одновременно быть степенями двойки.

б) n = 3k + 1. Разбирая этот случай аналогичным образом, мы получаем еще одно решение n = 7, m = 4.

Задача 79:

1/a + 1/b + 1/c = 1.

Решение:

a = b = c = 3; a,b,c = 1,2,3 или 2,4,4; одно из чисел равно 1, а сумма двух других равна 0, например, a = 1, b =  – c = 13.

Задача 80:

x² – y² = 1988.

Решение:

x =  ± 498, y =  ± 496 или x =  ± 78, y =  ± 64, причем знаки выбираются независимо.

Задача 81:

Докажите, что уравнение 1/x – 1/y = 1/n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.

Решение:

Если n = pq (p, q > 1), то 1/n = 1/(n – 1) – 1/n(n – 1) и 1/n = 1/p(q – 1) – 1/pq(q – 1). Если же n – простое, то n(y – x) = xy, и значит, xy делится на n, т.е. x или y делится на n. Ясно, что именно y делится на n: y = kn. Тогда x = kn/(n + 1), откуда k = n – 1, т.е. есть ровно одно представление 1/n = 1/(n – 1) – 1/n(n – 1).

Задача 82:

Решите уравнение в целых числах: x³ + 3 = 4y(y + 1).

Задача 83:

Решите уравнение в целых числах: x² + y² = z².

Задача 84:

Решите уравнение в целых числах: x² – 5y² = 1.