Задача 52:

Докажите, что при n ≥ 3 выполняется неравенство

Задача 53:

n – натуральное число. Докажите, что

Задача 54:

n – натуральное число. Докажите, что

(54) Решение совершенно аналогично предыдущему. Нужно лишь поменять знаки неравенств.

Задача 55:

n – натуральное число. Докажите, что

Задача 56:

(Неравенство Бернулли). x ≥ 0, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Задача 57:

n – натуральное число. Докажите, что nⁿ > (n + 1)^n – 1.

Задача 58:

n – натуральное число, n ≥ 4. Докажите, что n! ≥ 2n.

Задача 59:

n – натуральное число. Докажите, что 2ⁿ ≥ 2n.

Задача 60:

При каких натуральных n выполняется неравенство 2ⁿ ≥ n³?

Задача 61:

Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство 3ⁿ > n • 2ⁿ.

Задача 62:

Какое из чисел

больше? А если троек не 9, а 8?

Задача 63:

Произведение положительных чисел a₁, a₂, …, a_n равно 1. Докажите, что (1 + a₁)(1 + a₂) … (1 + a_n) ≥ 2ⁿ. Замечание. У задачи 63 имеются и другие решения, помимо индуктивного.

Задача 64:

Докажите неравенство Бернулли (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx, если известно лишь, что x ≥  – 1 и n ≥ 1.

Задача 65:

Сумма положительных чисел x₁, x₂, …, x_n равна 1/2. Докажите, что