Задача 52:

Докажите, что при n ≥ 3 выполняется неравенство

Решение:

База: n = 3. Имеем 1/4 + 1/5 + 1/6 = 37/60 > 3/5. Докажем индукционный переход от n = k к n = k + 1:

Задача 53:

n – натуральное число. Докажите, что

Решение:

База очевидна. Переход: , так как .

Задача 54:

n – натуральное число. Докажите, что

(54) Решение совершенно аналогично предыдущему. Нужно лишь поменять знаки неравенств.

Задача 55:

n – натуральное число. Докажите, что

Решение:

В качестве b_n выберем последовательность (1 – 1/n). База: n = 2. 1/2² < 1 – 1/2 – все в порядке.

Индукционный переход (по схеме!): a_k – a_k – 1 = 1/k², b_k – b_k – 1 = 1/k(k – 1), т.е. a_k – a_k – 1 < b_k – b_k – 1. Отсюда вывод: для любого натурального n имеем a_n < b_n = 1 – 1/n < 1.

Задача 56:

(Неравенство Бернулли). x ≥ 0, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Решение:

причем все подчеркнутые слагаемые, безусловно, неотрицательны. Следовательно, , ч.т.д.

Задача 57:

n – натуральное число. Докажите, что nⁿ > (n + 1)^n – 1.

Решение:

a_n = nⁿ, b_n = (n + 1)^n – 1. Проверяем первые значения n = 1, 2 и убеждаемся в том, что для них утверждение задачи верно – это база индукции. Чтобы доказать индукционный переход, достаточно показать, что

или, что то же, k^2k – 2 ≥ (k² – 1)^k – 1, т.е., (k²)^k – 1 ≥ (k² – 1)^k – 1, ч.т.д.

Задача 58:

n – натуральное число, n ≥ 4. Докажите, что n! ≥ 2n.

Решение:

База n = 4 проверяется непосредственно. Переход: (n + 1)! = (n + 1)n! > 2ⁿ(n + 1) > 2 • 2ⁿ = 2^n + 1.

Задача 59:

n – натуральное число. Докажите, что 2ⁿ ≥ 2n.

Решение:

База n = 1 очевидна. Переход: 2^n + 1 = 2 • 2ⁿ > 2 • 2n = 4n > 2(n + 1) (при n > 1).

Задача 60:

При каких натуральных n выполняется неравенство 2ⁿ ≥ n³?

Решение:

При n ≥ 10.

Задача 61:

Докажите, что для любого натурального n выполняется неравенство 3ⁿ > n • 2ⁿ.

Задача 62:

Какое из чисел

больше? А если троек не 9, а 8?

Задача 63:

Произведение положительных чисел a₁, a₂, …, a_n равно 1. Докажите, что (1 + a₁)(1 + a₂) … (1 + a_n) ≥ 2ⁿ. Замечание. У задачи 63 имеются и другие решения, помимо индуктивного.

Задача 64:

Докажите неравенство Бернулли (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx, если известно лишь, что x ≥  – 1 и n ≥ 1.

Задача 65:

Сумма положительных чисел x₁, x₂, …, x_n равна 1/2. Докажите, что