Задача 39:

Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.

Отсюда и следует решение задачи.

Задача 40:

a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab? Указание: a(1 – a) = 1/4 – (1/2 – a)².

Задача 41:

Докажите неравенство (a²/4) + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc при любых a, b, c.

Задача 42:

k, l, m – натуральные числа. Докажите, что 2^k + l + 2^k + m + 2^l + m ≤ 2^{k + l + m + 1} + 1.

Задача 43:

a + b + c = 0. Докажите, что ab + bc + ca ≤ 0.

Задача 44:

Докажите, что x⁶/y² + y⁶/x² ≥ x⁴ + y⁴ при любых x и y.

Задача 45:

x, y > 0. Докажите, что .

Задача 46:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

Задача 47:

a₁ ≤ a₂ ≤  …  ≤ a_n и b₁ ≤ b₂ ≤  …  ≤ b_n. Докажите, что a₁b₁ + a₂b₂ +  …  + a_nb_n ≥ a₁c₁ + a₂c₂ +  …  + a_nc_n, где c₁, c₂, …, c_n – любая перестановка чисел b₁, b₂, …, b_n.

Задача 48:

Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥  – 1.

Задача 49:

Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

Задача 50:

Докажите, что

Задача 51:

x, y ≥ 0. Докажите, что .