Задача 39:

Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.

Отсюда и следует решение задачи.

Задача 40:

a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab? Указание: a(1 – a) = 1/4 – (1/2 – a)².

Задача 41:

Докажите неравенство (a²/4) + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc при любых a, b, c.

Решение:

Разберем решение задачи 41. Переносим все на одну сторону и выделяем квадрат: (a²/4) + b² + c² – ab + ac – 2bc = (a/2 – b + c)² ≥ 0.

Задача 42:

k, l, m – натуральные числа. Докажите, что 2^k + l + 2^k + m + 2^l + m ≤ 2^{k + l + m + 1} + 1.

Решение:

Неравенство доказывается сложением двух очевидных неравенств:

так как 2^{k + l + m} > 2^k + 2 = 4 • 2^k > 2^k + 2^l + 2^m (при k ≥ l ≥ m).

Задача 43:

a + b + c = 0. Докажите, что ab + bc + ca ≤ 0.

Решение:

ab + bc + ca = ((a + b + c)² – a² – b² – c²)/2 =  – (a² + b² + c²)/2 ≤ 0.

Задача 44:

Докажите, что x⁶/y² + y⁶/x² ≥ x⁴ + y⁴ при любых x и y.

Решение:

Обозначим x² = a, y² = b. Тогда

– еще раз подчеркнем, что числа a – b и a³ – b³ имеют один знак.

Задача 45:

x, y > 0. Докажите, что .

Решение:

Перенося все члены в одну часть, получаем .

Задача 46:

a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

Решение:

Перенесем все на одну сторону и разобьем слагаемые на четверки: [a³ + b³ – a²b – ab²] + [b³ + c³ – b²c – bc²] + [a³ + c³ – a²c – ac²].

Внутри каждой четверки выражение можно разложить на множители таким образом: a³ + b³ – a²b – ab² = (a – b)(a² – b²) ≥ 0. Отсюда и следует требуемое неравенство.

Задача 47:

a₁ ≤ a₂ ≤  …  ≤ a_n и b₁ ≤ b₂ ≤  …  ≤ b_n. Докажите, что a₁b₁ + a₂b₂ +  …  + a_nb_n ≥ a₁c₁ + a₂c₂ +  …  + a_nc_n, где c₁, c₂, …, c_n – любая перестановка чисел b₁, b₂, …, b_n.

Решение:

Основная идея: если перестановка (c_i) не тождественная, то есть номера i и j такие, что c_i > c_j при i < j. Тогда, поменяв c_i и c_j местами, мы увеличим сумму произведений. В самом деле, c_ia_i + c_ja_j – c_ja_i – c_ia_j = (a_i – a_j)(c_i – c_j) < 0. Такими двойными перестановками мы приведем перестановку (c_i) к тождественной, в то время как сумма произведений не уменьшится.

Задача 48:

Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥  – 1.

Задача 49:

Докажите, что при любых x, y, z выполнено неравенство: x⁴ + y⁴ + z² + 1 ≥ 2x(xy² – x + z + 1).

Задача 50:

Докажите, что

Задача 51:

x, y ≥ 0. Докажите, что .