Задача 66:

Вокруг экватора натянули веревку. Затем ее удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте. Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?

Задача 67:

Представьте себе, что Землю «раскатали в колбаску» так, чтобы она достала до Солнца. Какой толщины будет эта «колбаска»? Постарайтесь ошибиться не более, чем в 10 раз.

Задача 68:

Поместится ли все население Земли, все здания и сооружния на ней в куб с длиной ребра 3 километра?

Задача 69:

Представьте себе, что вы стоите на Дворцовой набережной Невы. Как вам, используя только подручные средства и глазомер, оценить высоту шпиля на соборе Петропавловской крепости?

Задача 70:

Докажите, что 100! < 50¹ºº.

Задача 71:

n – натуральное число. Докажите, что .

Задача 72:

1 > x > y > 0. Докажите, что (x – y)/(1 – xy) < 1.

Задача 73:

a, b, c, d ≥ 0, причем c + d ≤ a, c + d ≤ b. Докажите, что ad + bc ≤ ab.

Задача 74:

Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0.01?

Задача 75:

a, b, c > 0 и abc = 1. Известно, что a + b + c > 1/a + 1/b +  + 1/c. Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.

Задача 76:

x, y – числа из отрезка [0;1]. Докажите неравенство

Задача 77:

a, b, c – натуральные числа и 1/a + 1/b + 1/c < 1. Докажите, что 1/a + 1/b + 1/c ≤ 41/42.

Задача 78:

x, y, z – положительные числа. Докажите неравенство

Задача 79:

Докажите, что

Задача 80:

Докажите, что для любого x выполнено неравенство x⁴ – x³ + 3x² – 2x + 2 ≥ 0.

Задача 81:

Числа a, b, c, d – из отрезка [0;1]. Докажите, что (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²).

Задача 82:

x, y > 0. Через S обозначим наименьшее из чисел x, 1/y, y + 1/x. Какое максимальное значение может принимать величина S?

Задача 83:

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

1) a + b < c + d;

2) (a + b)cd < ab(c + d);

3) (a + b)(c + d) < ab + cd

неверно.

Задача 84:

Докажите, что три неравенства

не могут быть все верны одновременно, если числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ положительны.

Задача 85:

Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.