ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 6 класс >> Чётность-3. Несколько задач посложнееПоказать решения
Разное. Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 6 класс. Чётность-3. Несколько задач посложнее

Задача 1: В квадрате 5 × 5 стоят числа 1 и  – 1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам. Доказать, что сумма этих десяти чисел не равна нулю.

Задача 2: В вершинах n-угольника стоят числа 1 и  – 1. На каждой стороне написали произведение чисел на ее концах. Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю. Доказать, что а) n чётно; б) n делится на 4.

Задача 3: По кругу расставлены нули и единицы (и те, и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на 0, а остальные числа – на 1. Такую операцию проводят несколько раз. Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук? Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

Задача 4: Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Задача 5: Петя купил общую тетрадь из 96 листов и пронумеровал страницы числами от 1 до 192 по порядку. Хулиган Вася вырвал 25 листов и сложил 50 написанных на них чисел. Мог ли он в сумме получить число 2000?

Задача 6: Имеется таблица 1999 × 2001. Известно, что произведение чисел в любой строке отрицательно. Докажите, что найдется столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

Задача 7: На доске написаны числа от 1 до 2001. Разрешается производить следующую операцию: стереть два соседних числа и на их месте записать модуль их разности. Может ли на доске остаться один 0?

Задача 8: Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg, если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно  ± 1.


создание сайтов в европе


Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 6 класс >> Чётность-3. Несколько задач посложнееПоказать решения