Задача 1: Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 50, 100.

Задача 2: Почему верны признаки «Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2» и «Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 5» и не верны аналогичные признаки для других однозначных чисел?

Задача 3: Почему верен признак «Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последним цифрами делится на 4»? Сформулируйте аналогичные признаки делимости для чисел 25 и 50. Что общего у этих чисел с числом 4?

Задача 4: Назовем число «забавным», если все его цифры делятся на 4. А делится ли «забавное» число на 4? Существуют ли не «забавные» числа, которые делятся на 4?

Задача 5: Сформулируйте и докажите признаки делимости на 8 и 125. (А на 2ⁿ и 5ⁿ?)

Задача 6: Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9. Верны ли аналогичные признаки для других однозначных чисел? Почему всякое число вида 10 … 0 при делении на 9 (и на 3) дает в остатке 1?

Задача 7: Какой остаток от деления на 3 и на 9 дает число вида ? Докажите, что число и его сумма цифр дают при делении на 9 одинаковые остатки. Докажите, что то же верно при делении на 3.

Задача 8: Задумайте число. Прибавьте 2, умножьте на 3, возведите в квадрат, прибавьте 36, посчитайте сумму цифр, еще раз, и еще, пока не получите однозначное число. Отнимите от него 4. Найдите n-ую букву алфавита, придумайте на нее название страны, на третью букву названия придумайте животное. Так вот, в Дании носороги не водятся!

Объясните этот фокус.

Задача 9: Докажите, что 11 … 1 (27 единиц) делится на 27. Верен ли признак делимости на 27, аналогичный признакам делимости на 3 и 9?

Задача 10: Как проверить, делится ли число на а) 6; б) 12; в) 15; г) 18; д) 30; е)  45; ж) 75; з) 225?

Задача 11: При каких a число делится на 6?

Задача 12: Из двузначного числа вычли число, получающееся из него же перестановкой цифр. Докажите, что результат делится на 9.

Задача 13: Шестиклассник Петя перемножил все числа от 1 до 2000. У полученного числа он подсчитал сумму цифр, затем подсчитал сумму цифр результата, и так далее, пока не получил число, состоящее из одной цифры. Какое?

Задача 14: Натуральное число возвели в квадрат. Может ли результат оканчиваться на 66?

Задача 15: Ольга Сергеевна называет три цифры. А Константин Александрович говорит, что всегда сможет составить из них одно-, двух- или трёхзначное число, делящееся на 3. Прав ли он?

Задача 16: В ряд стоят 100 фишек. Разрешается поменять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли переставить все фишки в обратном порядке?

Задача 17: В трёхзначном числе n первые две цифры одинаковые, а последняя цифра – 5. Кроме того, известно, что n дает остаток 8 при делении на некоторое однозначное число. Найдите n.

Задача 18: На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?

Задача 19: Из числа 123123123123 вычеркните несколько цифр так, чтобы получилось наибольшее возможное число, кратное 9.

Задача 20: Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Задача 21: Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 120 раз. Докажите, что в результате получился нуль.

Задача 22: Шесть игральных кубиков нанизали на спицу (протыкая ею центры противоположных граней кубиков) так, что каждый может вращаться независимо от остальных. На гранях каждого кубика написаны все цифры от 1 до 6, причём сумма цифр на противоположных гранях равна 7. Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях кубиков. Докажите, что можно так повернуть кубики, чтобы это число делилось на 7.

Задача 23: В десятизначном числе все цифры встречаются по разу. Может ли оно делиться на 11?