Задача 1: В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка – точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 50 см можно закрыть не менее 13 дырок.

Задача 2: В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка – точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.

Задача 3: В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать круг радиуса 12.5 см, в котором нет ни одной дырки.

Задача 4: Какое наибольшее число клеток можно закрасить на шахматной доске 8 × 8 так, чтобы в любом уголке из трёх клеток были как закрашенные, так и незакрашенные клетки?

Задача 5: На шахматной доске стоит 31 фишка. Докажите, что найдется свободный уголок из трёх клеток .

Задача 6: В правильном 20-угольнике отметили 9 вершин. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами в отмеченных точках.

Задача 7: Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что существует отрезок, оба конца и середина которого окрашены в один цвет.

Задача 8: Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдется правильный треугольник с одноцветными вершинами.

Задача 9: Доска 6 × 6 заполнена костяшками домино 1 × 2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез доски, не пересекающий ни одной из костяшек.

Задача 10: Клетки прямоугольника 5 × 41 раскрашены в два цвета. Докажите, что можно выбрать три строки и три столбца так, что все 9 клеток, находящихся на их пересечении, будут иметь один цвет.

Задача 11: Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?