Задача 1: Сколькими способами можно зажечь свет в нашем классе? (в классе 3 лампочки, у каждой – отдельный выключатель)

Решение: Обсуждение путей решения: а) прямой подсчет – перебор возможных способов; упорядочение перебора – то есть суммирование 1 + 3 + 3 + 1 = 8; б) рассмотрение ситуации по отдельности для каждой лампочки – либо «вкл», либо «выкл»; правило произведения: 2 × 2 × 2 = 8; графическое отображение в виде графа с кратными дугами и в виде дерева перебора.

Задача 2: Комбинация из трёх букв на автомобильном номере состоит только из тех русских букв, у которых есть похожие латинские, а именно из А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Сколько всего таких комбинаций?

Задача 3: Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Перебор по положениям белой ладьи.

Задача 4: а) В магазине «Все для чая» продаются 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить там набор «чашка  +  блюдце»?

б) В тот же магазин завезли еще 4 вида чайных ложек. Сколькими способами можно купить комплект «чашка  +  блюдце  +  ложка»?

в) Известно, что одна из чашек, одно из блюдец и одна из ложек – золотые. Сколькими способами можно купить набор из 3-х различных предметов, в котором

в1) нет золотых предметов?

в2) 1 золотой предмет?

в3) 2 золотых предмета?

в4) 3 золотых предмета?

г) Сколькими способами в магазине можно купить комплект из двух предметов?

д) сколькими способами можно купить комплект из 1 предмета?

е) Ясно, что «купить 0 предметов» можно единственным способом. Каков смысл равенства 1 + 12 + 47 + 60 = 6 × 4 × 5?

Решение:

а) по правилу произведения получаем 5 × 3 = 15.

б) 5 × 3 × 4 = 60.

в1) считаем количество не-золотых предметов: 4 чашки, 2 блюдца, 3 ложки. По правилу произведения получаем 4 × 2 × 3 = 24.

в2) подметим, что 1 золотой предмет – либо чашка, либо ложка, либо блюдце. Если это чашка, то имеем 1 × 2 × 3 = 6 способов, если это блюдце, то число способов равно 4 × 1 × 3 = 12, наконец, для ложки получаем 4 × 2 × 1 = 8 способов. Итого – 26.

в3) возможны 2 разумных перебора – либо по парам золотых предметов («чашка + блюдце», «чашка + ложка", «ложка + блюдце"), либо перебор не-золотых предметов. При обоих подходах получаем 1 × 1 × 3 + 1 × 2 × 1 + 4 × 1 × 1 = 9 способов.

После задач в2) и в3) формулируем правило суммы и когда им надо пользоваться.

в4) 1 способ. ( = 1 × 1 × 1). Усложняем задачу ученикам: как получить ответ другим способом? Вот этот способ: так как всего возможностей 60 (см. задачу б)), а в задачах в1)–в3) были найдены 24 + 26 + 9 = 59 из них, то на долю задачи в4) остался последний, единственный, способ. Обращаем внимание школьников на необязательность, но желательность проверки равенства 60 = 24 + 26 + 9 + 1 при самостоятельном решении подобных задач.

г) по правилу суммы – 5 × 3 + 5 × 4 + 3 × 4 = 47 способов.

д) 5 + 4 + 3 = 12.

е) смысл состоит в том, что мы добавляем для каждого предмета еще одну возможность – либо покупать его, либо нет. Это значит, что мы как бы вводим шестую «липовую чашку», четвертое «липовое блюдце" и пятую «липовую ложку». Если выбран «липовый" предмет, это означает, что мы данный вид посуды просто не покупаем. Но теперь есть всего 6 × 4 × 5 способов выбрать набор из 3-х предметов (некоторые из которых будут липовыми), а сумма слева представляет собой разбиение на случаи «0 липовых», «1 липовый", «2 липовых", «3 липовых".