Задача 1: а) Придумайте такие 3 различных натуральных числа, чтобы каждое делило сумму остальных; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Задача 2: а) Придумайте 3 различных натуральных числа, чтобы каждые два имели общий делитель, больший 1, но при этом чтобы НОД всех трёх чисел был равен 1; б) то же, но все числа больше 100; в) как в (а), но 4 числа; г) как в (а), но 10 чисел.

Задача 3: Разрежьте квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых) а) n = 4; б) n = 7; в) n = 10; г) n = 1999.

Задача 4: В мешке лежит 64 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 23 кг гвоздей?

Задача 5: Давным-давно в СССР имелись в обращении 3-копеечные и 5-копечные монеты. Докажите, что можно было набрать любую сумму более 7 копеек только такими монетами.

Задача 6: Докажите, что если ввести в обращение монеты достоинством в 5 и 26 копеек, то можно будет уплатить без сдачи любую сумму, начиная с 1 рубля.

Задача 7: Представьте число 1 в виде суммы а) трёх б) четырёх в) десяти различных дробей с числителем 1.

Задача 8: Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку шахматной доски, после этого он должен перекрасить ее в противоположный цвет. Маляр ставится на угловую клетку доски, где все клетки белые. Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.

Задача 9: При каких натуральных n можно разрезать квадрат на n меньших квадратов (не обязательно одинаковых)?

Задача 10: Расставьте различные натуральные числа в таблицу 2 × 3 (2 строки, 3 столбца) так, чтобы произведения в столбцах были равны, и суммы в строках тоже были равны (но суммы могут отличаться от произведений).

Задача 11: а) Может ли свеча внутри пустой многоугольной комнаты не освещать полностью ни одну из стен? б) Существует ли многоугольник и точка вне него, из которой ни одной стороны не видно полностью?

Задача 12: У входа в пещеру с сокровищами стоит бочка с 4 дырками по кругу в крышке. В каждой дырке можно нащупать селедку хвостом вверх или вниз. Али-Баба может просунуть руки в любые две дырки, определить положение селедок под ними и, если хочет, перевернуть одну или обе по своему усмотрению. Когда хвосты всех четырёх селедок окажутся направленными в одну сторону, дверь в пещеру откроется. Однако, после того, как Али-Баба вытаскивает руки, бочка некоторое время с дикой скоростью крутится, так что Али-Баба не может определить, куда именно он совал руки раньше. Как Али-Бабе открыть дверь не более чем за 10 засовываний?

Задача 13: Решите более сложную задачу о сокровищах: в бочке по кругу находится 8 дырок, а за один ход разрешается «тестировать» и при необходимости переворачивать любые четыре из них.

Задача 14: Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.

Задача 15: Найдите шесть последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 2, второе – на 3, третье – на 4, четвертое – на 5, пятое – на 6, шестое – на 7. Обязательно ли число, следующее за шестым, будет делиться на 8?

Задача 16: Найдите шесть последовательных натуральных чисел, первое из которых делится на 2, второе – на 3, третье – на 5, четвертое – на 7, пятое – на 11, шестое – на 13.