Задача 1: Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?

Задача 2: Можно ли выложить квадрат 8 × 8, используя 15 прямоугольников 1 × 4 и один уголок вида ?

Задача 3: Можно ли выложить прямоугольник 6 × 10 прямоугольниками 1 × 4?

Задача 4: Можно ли сложить квадрат 6 × 6 с помощью 11 прямоугольников 1 × 3 и одного уголка вида ?

Задача 5: На каждой клетке доски 5 × 5 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом окажется хотя бы одна пустая клетка.

Задача 6: Из доски 8 × 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники 3 × 1?

Задача 7: Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее?

Задача 8: Можно ли доску размером 10 × 10 покрыть фигурами вида ?

Задача 9: Дана доска 12 × 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 × 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и переставить одну из них симметрично относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 × 3 в правом нижнем углу?

Задача 10: В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.

Задача 11: Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.

Задача 12: Дан куб 6 × 6 × 6. Докажите, что его нельзя разбить на параллелепипеды 4 × 1 × 1.

Задача 13: Докажите, что числа от 40 до 99 нельзя разбить на группы по 4 числа так, чтобы числа каждой группы в одном разряде совпадали, а цифры другого разряда шли бы подряд (например «54, 55, 56, 57»; «44, 54, 64, 74»)

Указание: Попытайтесь закодировать эту задачу так, чтобы оправдать её наличие в теме «раскраски».

Задача 14: Докажите, что трёхзначные числа нельзя разбить на группы по 4 так, чтобы числа в каждой группе совпадали во всех разрядах кроме одного, а в оставшемся разряде цифры шли бы подряд.