Задача 1: Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок, но до приведения подобных в а) (a + b + c +  …  + i + j)(k + l +  …  + y + z); б) (a + b)¹º?

Задача 2: Сколько слагаемых будет после раскрытия скобок и приведения подобных в а) (x² + x + 1)¹º; б) (a + b)ⁿ?

Задача 3: (бином Ньютона)

Задача 4: Выпишите формулы для а) (a + b)⁴ ; б) (x + 1)ⁿ; в) (a – b)ⁿ.

Задача 5: Докажите следующие свойства биномиальных коэффициентов двумя способами – алгебраически и комбинаторно:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 6: Выведите формулу бинома Ньютона по индукции.

Задача 7: Пусть p – простое. Докажите, что

а) если 1 ≤ k ≤ p – 1, то ;

б) (a + b)^p ≡ _pa^p + b^p;

в) ;

г) (малая теорема Ферма) при любом целом n.

Задача 8: Докажите, что а); б).

Задача 9:

Задача 10: Докажите, что произведение k последовательных целых чисел делится на k!

Задача 11: Докажите, что .

Зад12. Докажите, что при целых n,k ≥ 0