Задача 1: Пусть a – целое, b – натуральное число. Тогдаa можно единственным образом представить в виде a = kb + r, где k и r – целые, 0 ≤ r < b.

Задача 2:

x = 100k – 16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?

Задача 3: Делимое и делитель увеличили в три раза. Как изменятся неполное частное и остаток?

Задача 4: Разность двух чисел делится на b. Докажите, что числа дают одинаковые остатки при делении на b.

Задача 5: Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или 1.

Задача 6: Пусть число a₁ дает при делении на b остаток r₁, число a₂ – остаток r₂. Тогда

а) (сложение остатков) Число a₁+a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁ + r₂.

б) (вычитание остатков) Число a₁ – a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁ – r₂.

в) (умножение остатков) Число a₁a₂ при делении на b дает тот же остаток, что и число r₁r₂.

Задача 7: Докажите, что натуральное число сравнимо а) со своей суммой цифр по модулю 9; б) со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.

Задача 8: Докажите, что делится на 24

Задача 9: Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.

Задача 10: Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что одно из них делится а) на 2; б) на 3.

Задача 11: Три простых числа p, q и r, больших 3, образуют арифметическую прогрессию: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.

Задача 12: Найдите p, если:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа;

б) p, 2 • p + 1, 4 • p + 1 – простые числа.

Задача 13: На поле растут деревья с золотыми монетами (на разных деревьях может быть разное число монет!). Каждую ночь на каждом дереве вырастает одна монета. 1 марта на деревьях было всего 2000 монет. В марте Буратино посадил еще одно дерево, и 31 марта на деревьях оказалось всего 2993 монеты. В какой день Буратино посадил дерево?

Задача 14: Пусть a и b – натуральные числа, причем число a² + b² делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Задача 15: Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что одно из них делится на 5.

Задача 16: Докажите, что

а) произведение 4 последовательных целых чисел;

б) разность квадратов двух простых чисел, больших трех;

делится на 24.