ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Делимость, остатки (профи)Показать решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Делимость, остатки (профи)

Задача 1: Пусть a – целое, b – натуральное число. Тогдаa можно единственным образом представить в виде a = kb + r, где k и r – целые, 0 ≤ r < b.

Задача 2:

x = 100k – 16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?

Задача 3: Делимое и делитель увеличили в три раза. Как изменятся неполное частное и остаток?

Задача 4: Разность двух чисел делится на b. Докажите, что числа дают одинаковые остатки при делении на b.

Задача 5: Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или 1.

Задача 6: Пусть число a1 дает при делении на b остаток r1, число a2 – остаток r2. Тогда

а) (сложение остатков) Число a1+a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1 + r2.

б) (вычитание остатков) Число a1 – a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1 – r2.

в) (умножение остатков) Число a1a2 при делении на b дает тот же остаток, что и число r1r2.

Задача 7: Докажите, что натуральное число сравнимо а) со своей суммой цифр по модулю 9; б) со своей знакочередующейся суммой цифр по модулю 11.

Задача 8: Докажите, что делится на 24 а) произведение 4 последовательных целых чисел; б) разность квадратов двух простых чисел, больших 3.

Задача 9: (правило сокращения) Пусть m и b – взаимно просты. Тогда .

Задача 10: Найдите все такие x, что 19x оканчивается на 99.

Задача 11: В прямоугольном треугольнике все стороны целые. Докажите, что его площадь делится на 6.

Задача 12: Можно ли клетчатый квадрат 1999 × 1999 разрезать по границам клеток на 10000 прямоугольников с равными диагоналями?

Задача 13: Может ли сумма 13 точных квадратов быть точным квадратом?

Задача 14: Пусть m не делится на простое число p. Тогда

  1. Числа m, 2m, 3m, , (p – 1)m дают различные остатки по модулю p.
  2. Числа (p – 1)! и mp – 1(p – 1)! дают одинаковые остатки при делении на p.

    (малая теорема Ферма).


Современные дизельные пушки непрямого нагрева купить можно тут.


Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Делимость, остатки (профи)Показать решения