ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Решение линейных уравнений в целых числахПоказать решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Решение линейных уравнений в целых числах

Задача 1: Найдите все решения в целых числах уравнений:

а) x – y = 0;

б) 5x – 3y = 0;

в) 15x + 9y = 0.

Задача 2: Решите в целых числах уравнение 15x – 9y =  – 7.

Задача 3: На прямой сидит блоха, которая может прыгать на 5 см или 7 см вправо или влево. Сможет ли она сместиться после нескольких прыжков вправо на 3 см от начального положения? Если сможет, то как она должна прыгать?

Задача 4: Решите в целых числах уравнение 5x – 7y = 3:

а) найдите какое-нибудь одно решение;

б) найдите какие-нибудь три решения;

в) если выполнены равенства 5x1 – 7y1 = 3 и 5y2 – 7y2 = 3, то рассмотрите их разность;

г) найдите все решения уравнения 5x – 7y = 3 в целых числах.

Задача 5: Решите в целых числах уравнения:

а) 3x + 5y = 13;

б) 10x + 15y = – 5;

в) – 6x + 21y = 18.

Задача 6: Решите в натуральных числах уравнение 2000x + 513y = 2513.

Задача 7: Решите в целых числах уравнение 2000x + 513y = 329.

Задача 8: Пусть a и b – натуральные числа и a > b. Поделим a на b с остатком: a = bq + r, 0 ≤ r < b.

а) Докажите, что  НОД (a,b) =  НОД (a – b,b).

б) Докажите, что  НОД (a,b) =  НОД (r,b).

в) Сформулируйте правило для поиска НОД двух «больших» чисел.

Задача 9: Найдите: а)  НОД (2000,502); б)  НОД (589,1426).

Задача 10: Могут ли числа 2n + 13 и n + 7 при натуральном n иметь общий множитель, больший чем 1?

Задача 11: Докажите, что для каждого натурального n дробь несократима.

Задача 12: а) Докажите, что если  НОД (a,b) = 1, то уравнение ax + by = 1 имеет решение в целых числах.

б) Докажите, что если  НОД (a,b) = d, то уравнение ax + by = d имеет решение в целых числах.

в) Докажите, что если  НОД (a,b) = d и c делится на d, то уравнение ax + by = c имеет решение в целых числах.

г) Докажите, что если  НОД (a,b) = d и c не делится на d, то уравнение ax + by = c не имеет решений в целых числах.

Задача 13: Решите в целых числах уравнение 2000x + 513y = 329.

Задача 14: Решите в целых числах уравнения:

а)  – 7x + 4y + 9z = 89;

б) 10x + 13y + 8z = 143.

Задача 15: На бесконечной шахматной доске стоит конь. Докажите, что он сможет прискакать в любую клетку.

Задача 16: На прямой сидит блоха, которая может прыгать на 5 см влево или на 7 см вправо. В каких точках прямой может побывать эта блоха?



Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Решение линейных уравнений в целых числахПоказать решения