Задача 1: Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке.

Задача 2: Теорема. Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого)  расположены в узлах клетчатой бумаги. Внутри него лежит n узлов, а на границе m узлов. Докажите, что площадь этого многоугольника равна n + m/2 – 1 (Формула Пика).

Задача 3: Убедитесь в справедливости формулы Пика для многоугольников, изображенных на рисунке 1.

Задача 4: Докажите формулу Пика, разбив доказательство на ряд шагов:

1. Проверьте формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

2. Докажите формулу Пика для многоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

3. Докажите формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, на линиям сетки.

4. Докажите формулу Пика для многоугольника, составленного из двух многоугольников, для которых формула Пика уже доказана.

5. Пусть многоугольник, для которого формула Пика уже проверена, составлен из двух многоугольников. Докажите, что если формула Пика выполняется для одного из них, то она выполняется и для другого.

6. Использовав пункты 3 и 5, докажите формулу Пика для произвольного треугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги, отрезав для этого от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников.

   

7. [Теорема A.] Докажите, что любой (не обязательно выпуклый) многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники.

8. Докажите теорему A для выпуклых многоугольников.

9. Докажите формулу Пика для произвольного многоугольника.

Задача 5: Нарисуйте треугольник площади ½, у которого все стороны больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.

Задача 6: Можно ли квадрат 50 × 50 разбить на 15 одинаковых многоугольников с вершинами в узлах квадрата?

Задача 7: Замкнутая несамопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 7 × 7. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной.

Задача 8: а) Точку M внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника.

б) Вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел O. Докажите, что O – точка пересечения медиан треугольника.

Задача 9: Пусть A и B два узла клетчатой бумаги, из которых, второй на p клеток правее и на q клеток выше первого. Чему равно расстояние от прямой AB до ближайшего к ней узла, не лежащего на этой прямой?

Задача 10: Докажите, что найдется прямая, проходящая через два узла клетчатой бумаги, и не лежащий на этой прямой узел, такой, что расстояние между ними меньше 1/2000.

Задача 11: а) Докажите, что для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки отношение его площади к квадрату любой стороны рационально.

б) Найдется ли правильный треугольник с вершинами в узлах сетки?

Задача 12: Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каждом поле ровно 1 раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, последовательно соединяющая центры полей, не имеет самопересечений. а) Нарисуйте такую ломаную; б) найдите площадь, ограниченную этой ломаной.

Задача 13: Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n < 5.

Задача 14: Найдется ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами и вершинами в узлах сетки а) на сторонах которого нет узлов сетки кроме вершин; б) ни одна из сторон которого не проходит по линиям сетки?

Задача 15: На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные. Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Задача 16: Ладья, шагая по одной клетке, за 64 хода обошла все клетки шахматной доски и вернулась на исходную клетку. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.