Задача 1: Докажите, что из двух наклонных короче та, которая лежит ближе к перпендикуляру.

Задача 2: Докажите, что в треугольнике

а) против большей стороны лежит больший угол;

б) против большего угла лежит большая сторона.

Задача 3: а) Докажите, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны (неравенство треугольника).

б) Докажите, что в треугольнике длина любой стороны больше разности длин двух других сторон.

Задача 4: Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше полупериметра.

Задача 5: Докажите, что медиана треугольника:

а) больше разности полупериметра и стороны, на которую она опущена;

б) меньше полусуммы его сторон, выходящих из той же вершины.

Задача 6: Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшей. (А есть ли такая точка в невыпуклом четырехугольнике?)

Задача 7: Докажите, что ломаная длиннее отрезка, соединяющего ее концы.

Задача 8: а) Точка B₁ лежит на стороне AB треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника AB₁C меньше, чем периметр треугольника ABC.

б) Точка лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника AB₁C меньше, чем периметр треугольника ABC.

в) Треугольник A₁B₁C₁ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ меньше, чем периметр треугольника ABC. (Как можно обобщить эту задачу?)

Задача 9: В выпуклом четырехугольнике ABCD угол A равен углу B, а угол D больше угла C. Докажите, что BC > AD.

Задача 10: Три дома соединены дорожками. Внутри треугольника, образованного дорожками, построена беседка. От беседки к каждому из домов ведет прямая тропинка. Требуется заасфальтировать либо все дорожки, либо все тропинки. Докажите, что

а) если покрывать тропинки асфальтом в два слоя, то на тропинки уйдет асфальта больше, чем на дорожки;

б) а если их покрывать в один слой, то меньше.

Задача 11: Докажите, что расстояние от любой точки до любой вершины квадрата не больше суммы расстояний от нее до остальных вершин.

Задача 12: Дан угол и точка внутри него. Она отражается относительно сторон угла, и получившиеся точки соединяются отрезком. Докажите, что часть этого отрезка, высекаемая углом, составляет меньше половины его длины.

Задача 13: Имеются два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами. Докажите, что основание меньше у того треугольника, у которого меньше противолежащий основанию угол.

Задача 14: Построить треугольник наименьшего периметра по данному основанию и опущенной на него высоте.

Задача 15: Существует ли выпуклый многоугольник, в котором сумма длин диагоналей равна периметру?

Задача 16: В правильный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра так, чтобы его вершины попали на разные стороны, а одна – в середину стороны.

Задача 17: На биссектрисе угла отмечена точка. Провести через нее отрезок минимальной длины с концами на сторонах угла.