ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Индукция, ликбез (профи)Убрать решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Индукция, ликбез (профи)

Задача 1: Из квадрата клетчатой бумаги размером 2n × 2n вырезали одну угловую клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трех клеток.

Задача 2: Последовательность задана правилом: a1 = 1, а каждый член, начиная со второго, вычисляется по формуле an + 1 = 2an + 1. Докажите, что an = 2n – 1.

Задача 3: Докажите, что любую сумму, начиная с 8 рублей, можно выплатить монетами по 3 рубля и 5 рублей.

Задача 4: Доказать тождества:

  1. ;

  2. 1 + 3 +  …  + (2n – 1) = n²;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. 1 • 2¹ + 2 • 2² +  …  + n • 2n = (n – 1) • 2n + 1 + 2

  7. 1³ + 2³ +  …  + n³ = (1 + 2 +  …  + n)².

Задача 5: Докажите, что число 11 … 1 (3n единиц) делится на 3n.

Задача 6: На сколько частей делят плоскость n прямых, среди которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке? (Прямые «общего положения»).

Задача 7: На плоскости расположено несколько прямых и окружностей. Докажите, что части, на которые они разбивают плоскость, можно покрасить в два цвета так, что любые две части, имеющие общий участок границы, покрашены в разные цвета.

Задача 8: В прямоугольнике 3 × n (3 строки, n столбцов) расставлены фишки трех цветов по n штук каждого цвета. Докажите, что переставляя фишки в строчках, можно сделать так, чтобы в каждом столбце были фишки всех трех цветов.

Задача 9: Отряд девочек отправился в поход. После того, как они вернулись, их родителям стало известно, что хотя бы одна из них искупалась в походе без разрешения, и каждый решил высечь свою дочь, если узнает о том, что она купалась. Каждое утро девочки ходят в школу и обмениваются слухами о том, кто искупался в походе и кого высекли родители, которые сообщают вечером родителям (исключая информацию о том, купались ли они сами). Через 13 дней несколько отцов, получив очередную порцию информацию, догадались о провинности их дочерей и высекли их. Сколько детей получило в этот вечер наказание?

Задача 10: Можно ли отметить на плоскости несколько точек так, чтобы на расстоянии 1 от каждой отмеченной точки находилось ровно 10 отмеченных?



Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Индукция, ликбез (профи)Убрать решения