ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> КомбинаторикаПоказать решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Комбинаторика

Задача 1: Сколькими способами можно выбрать из слова «ЛМЫШОНОК» пару из гласной и согласной букв?

Задача 2: Сколько различных строк можно получить, а) переставляя буквы в слове «КОТЕЛЬНИЧ»; б) составляя девятизначное число из цифр от 1 до 9, используя все цифры.

Задача 3: Доказать, что Pn = n!.

Задача 4: Есть 12 шариков различных цветов и три ящика: красный, синий и зеленый. Сколькими способами можно заполнить ящики шариками (по одному шарику в каждый ящик)?

Задача 5: Доказать, что .

Задача 6: Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать и переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 16 различных бусинок?

Задача 7: Сколько различных строк можно получить, переставляя буквы в словах а)  «ВИШКИЛЬ»; б) «МАТЕМАТИТИКА».

Задача 8: Есть 12 шариков различных цветов. Сколькими способами можно выбрать три шарика?

Задача 9:

а) Остап Бендер достает из мешка k разноцветных слонов и раздает их k детям по слону в руки. Сколькими способами может состояться раздача слонов?

б) А если перед этим ему предстоит выбрать эти k слонов из n разноцветных, находящихся в мешке?

Задача 10: Докажите, что .

Задача 11: Среди 12 школьников требуется выбрать шесть футболистов. Сколько существует различных выборов?

Задача 12: У семиклассника Лени есть 7 книг по математике, а у восьмиклассника Бори – 8 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Задача 13: В кружке «Очумелые ручки» у Ларисы Ивановны занимается 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в конкурсе нужно выбрать четырех человек, среди которых обязательно должна быть хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 14: Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?

Задача 15: На окружности отмечены 5 красных, 7 желтых и 9 зеленых точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках, у которых все вершины а)  зеленые; б) одноцветные; в) все разноцветные; г) не все одноцветные?

Задача 16: У скольких 10-значных чисел все цифры различны?

Задача 17: Сколькими способами можно расставить k ладей на доске N × N так, чтобы они не били друг друга?

Задача 18: Среди 12 школьников требуется выбрать дежурных на ближайшие шесть дней – на каждый день по дежурному. Сколько существует различных выборов?

Задача 19:

Вычислите или упростите: а) ; б) ; в) ; г) , где k – натурально.

Задача 20:

Для проведения вступительной олимпиады преподаватели разбивают 70 школьников следующим образом: список в алфавитном порядке разбивается на 4 части, первая идет в первую аудиторию, вторая – во вторую и т. д. При этом в каждую аудиторию отправляется хотя бы один школьник. Сколькими способами можно произвести распределение?

Задача 21: Сколько решений имеет уравнение x + y + z = 2000 а) в натуральных числах; б) в целых неотрицательных числах?

Задача 22: Преподаватели снова делят 70 школьников на 4 аудитории, но в этот раз без учета алфавитного порядка. Найдите число способов.

Задача 23: Хромая ладья ходит на 1 клетку вправо или на 1 клетку вверх. Занумеруем столбцы слева направо, а строки снизу вверх числами 0, 1, 2, 3. Найдите количество путей, ведущих из левой нижней клетки в клетку на пересечении m-го столбца и n-ной строки.

Задача 24: Сколько решений в нечетных натуральных числах имеет уравнение x + y + z + t = 2000?

Задача 25: Сколько есть решений уравнения x + y + z = 100 в натуральных числах от 1 до 60?

Задача 26: Сколькими способами можно расставить числа 1, 2, , 20 в строку так, чтобы каждое число, кроме единицы, было больше по крайней мере одного из своих соседей?



Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> КомбинаторикаПоказать решения