Задача 1: а) Точка C₁ лежит на отрезке AC₂. Докажите, что .

б) Точка A лежит на отрезке C₁C₂. Докажите, что .

в) В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂  ∠ A₁ =  ∠ A₂. Докажите, что .

г) В треугольниках A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂  ∠ A₁ +  ∠ A₂ = 180°. Докажите, что .

Задача 2: Докажите, что отношение двух сторон треугольника равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону.

Задача 3: а) Две параллельные прямые высекают на сторонах угла с вершиной O отрезки A₁A₂ и B₁B₂. Докажите, что треугольники OA₁B₂ и OA₂B₁ равновелики.

б) Две параллельные прямые высекают на сторонах угла с вершиной O отрезки A₁A₂ и B₁B₂. Докажите, что .

в) (Теорема Фалеса) Три параллельные прямые пересекают стороны угла в точках , B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ соответственно. Докажите, что .

Задача 4: Две прямые высекают на сторонах угла с вершиной O отрезки A₁A₂ и B₁B₂. При этом . Докажите, что прямые параллельны.

Задача 5: На сторонах угла с вершиной O отмечены точки A₁, A₂ и B₁, B₂. При этом . Найдите отношение .

Задача 6: На стороне AB треугольника ABC сидит жук Кирюша. Он начинает ползти параллельно стороне BC до стороны AC, затем параллельно стороне AB до стороны BC, затем параллельно стороне AC до стороны AB, и так далее. Докажите, что через несколько шагов Кирюша вернется в исходную точку, и найдите сколько шагов ему на это потребуется (ответ может зависеть от исходного положения жука на AB).

Задача 7: Даны точка P и две пары параллельных прямых (a\|a′, b\|b′, но a и b – не параллельны). Проведите через точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых отсекали на ней равные отрезки.

Задача 8: Даны две пересекающиеся прямые. Найдите ГМТ, расположенных вдвое ближе к первой чем ко второй прямой.

Задача 9: а) Найдите геометрическое место четвертых вершин квадратов, у которых три вершины лежат на сторонах данного угла.

б) Впишите квадрат в данный треугольник так, чтобы две вершины квадрата попали на данную сторону.

Задача 10: Даны угол ABC и точка M внутри него. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку M.

Задача 11: В треугольнике ABC провели медиану AM, а затем – биссектрисы BK и BL полученных треугольников AMB и AMC соответственно. Докажите, что отрезки KL и BC параллельны.

Задача 12: Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью одной линейки разделите этот отрезок а) на две равные части; б)* на три равные части.