ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Внутренний математический бой (профи), 7 июляПоказать решения
Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс. Внутренний математический бой (профи), 7 июля

Задача 1: Назовем человека необщительным, если у него не более пяти друзей. Назовем человека чудаком, если все его друзья необщительны. Докажите, что чудаков не больше, чем необщительных.

Задача 2: Первоначально на доске написано число 2. Двое играющих ходят по очереди. За один ход разрешается имеющееся число увеличить на любой его делитель, не равный самому числу. Проигрывает тот, кто первым получит число больше тысячи. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?

Задача 3: Рассматриваются все промежутки времени в июне, состоящие из целого числа дней. Найдите наибольшее возможное число промежутков, в течение каждого из которых случилось нечетное число дождливых дней.

Задача 4: Внутри квадрата ABCD найдите все такие точки X, что AX + CX = BX + DX.

Задача 5: Существует ли тупоугольный треугольник, который можно разрезать на конечное число остроугольных треугольников?

Задача 6: Что больше: 200! или 100²ºº?

Задача 7: Найдите все решения в целых числах уравнения .

Задача 8: Из квадрата 8 × 8 вырезана угловая клетка. На какое наименьшее возможное число равновеликих треугольников можно разрезать полученную фигуру?

Задача 9: «Домик» ABCDE составлен из квадрата BCDE со стороной g и правильного треугольника ACB (вершина A – снаружи квадрата). Найдите радиус описанной окружности треугольника ADE.

Задача 10: В клетчатой таблице 10 × 10 стоят числа  + 1 и  – 1. За один ход разрешается поменять знак на противоположный у одного из этих чисел и у всех чисел, стоящих с ним в одном «кресте» (объединении его строки и его столбца). Докажите, что за несколько ходов можно из любой начальной расстановки получить любую другую.


http://oreanda.biz/ санатории крыма с лечением опорно двигательного аппарата.


Задачная база >> Разное >> Материалы Кировской ЛМШ, 2000 г, 7 класс >> Внутренний математический бой (профи), 7 июляПоказать решения