Задача 1: Четыре девочки – Катя, Вера, Маша и Аня – участвовали в конкурсе «Старая калоша». В каждом из туров участвовали 3 девочки. Катя участвовала в 8 турах – больше всех, а Вера в 5 турах – меньше всех. Сколько было туров?

Задача 2: Окружность не проходит через вершины 17-угольника и не касается его сторон. Может ли она пересечь каждую сторону ровно по одному разу?

Задача 3: У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?

Задача 4: В парламенте у каждого члена не больше трёх врагов. Доказать, что его можно разбить на две палаты так, что у каждого будет не больше одного врага в своей палате.

Решение: Если у кого-нибудь два врага в своей палате, то общее «количество вражды» внутри палат можно уменьшить, отправив его в другую.

Задача 5: Каждая пара депутатов парламента либо дружит, либо враждует. При этом неукоснительно соблюдаются условия «друг моего друга – мой друг» и «друг моего врага – мой враг». Известно, что в парламенте 50 депутатов, и что каждый из них послал открытки всем своим друзьям из числа коллег. Какое наименьшее число открыток могло быть послано? А наибольшее?

Задача 6: По окончании однокругового шахматного турнира, в котором участвовали 7 гроссмейстеров и 8 мастеров, комментатор посчитал, сколько партий каждый сыграл вничью. У него получилось 8 раз по 3, 9 раз по 6 и один раз 5. Однако известно что все партии между игроками одного звания закончились победой одного из них. Докажите, что комментатор ошибся.

Задача 7: В прямоугольной таблице некоторые клетки отмечены: в них стоит звёздочка. Известно, что для любой отмеченной клетки число звёздочек в ее столбце равно числу звёздочек в её строке. Докажите, что число строк таблицы, где есть хотя бы одна звёздочка, равно числу столбцов таблицы, где есть хотя бы одна звёздочка.