Задача 1: Докажите, что ;

Задача 2: Докажите, что 1 • 1! + 2 • 2! +  …  + n • n! = (n + 1)! – 1.

Задача 3: На сколько частей делят плоскость n прямых, среди которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке? (Такие прямые называют прямыми «общего положения»)

Решение: .

Задача 4: Докажите, что n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ делится на 9 при всех натуральных n.

Задача 5: Докажите, что 6ⁿ + 1 делится на 7 при всех нечётных n.

Задача 6: Докажите, что 3ⁿ – 1 делится на 8 при чётных n и дает остаток 2 при делении на 8 при нечётных n.

Задача 7: Докажите, что 4ⁿ – 3n – 1 делится на 9 при всех натуральных n.

Задача 8: Докажите, что 2ⁿ > 2n + 1 при всех натуральных n > 2.

Задача 9: Докажите, что 2ⁿ > 8n – 17 при всех натуральных n.

Задача 10: Докажите, что n! > 2ⁿ при всех натуральных n ≥ 4.

Решение: База n = 4 проверяется непосредственно. Переход: (n + 1)! = (n + 1)n! > 2ⁿ(n + 1) > 2 • 2ⁿ = 2^n + 1.

Задача 11: Докажите, что число, состоящее из 243 единиц, делится на 243. (243 = 3⁵)