Задача 1: В Вишкиландии имеются в обращении банкноты в 7 и 11 рублей. Докажите, что ими можно уплатить без сдачи любую сумму, начиная с 60 рублей.

Задача 2: Строители строят одноэтажный дом из бетонных плит, окрашенных с одной стороны в синий цвет, а с другой – в жёлтый. Сначала возводятся наружные стены, а затем по одной ставятся перегородки так, что каждая новая перегородка закрепляется концами к уже существующим стенам или перегородкам. Докажите, что если снаружи дом синий, то в нем есть хотя бы одна полностью жёлтая комната.

Задача 3: Докажите, что .

Задача 4: Докажите, что .

Задача 5: Докажите, что сумма кубов любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Задача 6: В компании из k человек (k > 3) каждый узнал по новому анекдоту. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им анекдоты. Докажите, что за 2k – 4 разговоров все смогут узнать все новые анекдоты.

Задача 7: Докажите, что (n + 1)! > 3ⁿ при всех натуральных n > 4.