Задача 1: Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки внутри треугольника до его вершин больше полупериметра.

Задача 2: Ученики ЛМШ-3001 посещают 14 клубов, причём в каждом клубе ровно 4 слушателя, и любые два клуба имеют ровно одного общего слушателя. Докажите, что есть ученик, посещающий все клубы.

Задача 3: Верно ли, что среди любых 12 последовательных трёхзначных чисел не более четырёх простых?

Задача 4: В классе 33 ученика, всем им вместе 430 лет. Докажите, что в классе найдутся 20 учеников, которым вместе не менее 260 лет.

Задача 5: Леня по одной достает и складывает в две стопки черные и красные карточки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки были красные, а двадцать пятая – черная. Какого цвета была двадцать шестая?

Задача 6: На доске написаны 6 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум прибавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию несколько раз, сделать все числа равными?

Задача 7: Никита написал на доске пять единиц, а потом вставил между ними некоторое количество нулей. Он утверждает, что получилось число, которое является квадратом некоторого целого числа. Прав ли Никита?

Задача 8: Из шести спичек одинаковой длины выложен шестиугольник ABCDEF, причем противолежащие спички лежат параллельно. Доказать, что площади треугольников ACE и BDF равны.