Задача 1: Мультфильм показывали целое число минут. Когда посмотрели в программке время начала и конца показа (часы по 24-часовой шкале и минуты), оказалось, что в этой записи использованы 8 различных цифр. Какое наименьшее время мог идти мультфильм?

Решение: 15 минут (19.58 – 20.13)

Задача 2: Семиклассник считается прожорливым, если он унёс с вечернего чая больше 500 граммов сухарей. Людмила Юрьевна подсчитала процент прожорливых семиклассников, а Константин Александрович – процент унесенных ими сухарей. У кого процент получился больше, если семиклассники унесли с вечернего чая все сухари?

Решение: у Константина Александровича процент не меньше

Задача 3: Докажите, что число 2002 нельзя представить в виде суммы кубов трех неотрицательных целых чисел.

Решение: Указание: 2002 ≡ 4 (mod 9).

Задача 4: Найти все натуральные n такие, что для любых натуральных a и b верно, по крайней мере, одно из утверждений: a делится на n, b делится на n, a + b делится на n, a – b делится на n.

Решение: 1, 2 и 3. Иначе для a = 1 и b = 2 ни одно из условий не выполнено.

Задача 5: Внутри квадрата ABCD отмечена точка M, такая что  ∠ BAM =  ∠ ABM = 15. Докажите, что треугольник MDC – равносторонний.

Решение: Нарисуем равносторонний треугольник CDM′, тогда заметив равнобедренность парочки треугольников, выясним, что  ∠ BAM′ =  ∠ ABM′ = 15. Прямым ходом не считается... не нравится (ТК)

Задача 6: Семиклассники ходили купаться через большой песчаный пляж. Шедшая последней Марина Зак аккуратно провела на песке две черты, перпендикулярных направлению движения ребят, на расстоянии 10 метров друг от друга, и насчитала между ними ровно 559 следов своих одноклассников. Сколько семиклассников ходило на реку, если известно, что длина шага каждого из них составляет ровно 55 см?

Решение: Между чертами каждый семиклассник оставляет или 18 следов (если первым шагом он заступил хотя бы на 10 сантиметров за черту), или 19 (если не заступил). Получаем, уравнение 18x + 19y = 559. Посмотрев остатки при делении на 18, получаем, что y ≡ 1 (mod 18). Поскольку уже 19 • (18 • 2 + 1) > 559, то y = 1 или y = 19, откуда x + y = 31 или x + y = 30

Задача 7: Докажите, что число 5^2n + 1 + 3^n + 2 • 2^n – 1 при любом натуральном n делится на 19?

Решение: Это выражение сравнимо по модулю 19 с .

Задача 8: Докажите, что из любых семи разных двузначных чисел найдутся два таких, что разность их квадратов делится на 10 без остатка.

Решение: При делении на 10 квадраты могут давать только остатки 0, 1, 4, 5, 6 и 9, поэтому среди 7 квадратов будут два с одинаковыми остатками.