Задача 1: Сформулируйте и докажите условие, позволяющее определить чётность числа по его записи

а) в троичной системе счисления;

б) в системе счисления с основанием p.

Решение: Число чётно тогда и только тогда, когда

а) в его троичной записи чётное число единиц (сумма цифр чётна);

б) его p-ичная запись оканчивается чётной цифрой (при чётном p), сумма цифр чётна (при нечётном p).

Задача 2: Сформулируйте и докажите признаки делимости

а) на 2, 3, 4, 6, 12 в 12-ричной системе счисления;

б) на делитель основания системы счисления.

Решение: б) Пусть d – делитель p. Число делится на d тогда и только тогда, когда его последняя цифра p-ичной записи числа делится на d.

Задача 3: Сформулируйте и докажите признаки делимости

а) на 3 и 5 в 16-ричной системе счисления;

б) на делитель числа p – 1 в p-ичной системе счисления;

Решение: б) Пусть d – делитель p – 1. Число делится на d тогда и только тогда, когда сумма цифр его p-ичной записи делится на d.

Задача 4: Сформулируйте и докажите признаки делимости

а) на 2, 3, 4, 6, 12 в 11-ричной системе счисления;

б) на делитель числа p + 1 в p-ичной системе счисления.

Решение: б) Пусть d – делитель p + 1. Число делится на d тогда и только тогда, когда его знакопеременная сумма цифр p-ичной записи делится на d.