Задача 1:

Докажите, что для произвольных положительных x₁,x₂,x₃,x₄,x₅ выполняется следующее неравенство: (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅)² ≥ 4(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + x₄x₅ + x₅x₁).

Задача 2: ABC – треугольник на координатной плоскости, вершины которого имеют целые координаты. Предположим, что только одна точка с целыми координатами находится внутри ABC (но нет никаких ограничений на точки на сторонах). Докажите, что площадь треугольника ABC не превосходит 9/2.

Задача 3:

Докажите, что любое натуральное число n может быть представено в виде

где a и b – натуральные числа.

Задача 4:

Пусть U = 1,2, … ,n,  π  = (i₁,i₂, … ,i_n) – перестановка чисел 1,2, … ,n, а S – подмножество U. Мы говорим, что  π  разбивает S, если S ≠ i_k,i_k + 1, … ,i_m для всех k и m. Например,  π  = (1,3,5,4,2) разбивает 1,2,3, но не 3,4,5.

Пусть  – семейство подмножеств U таких, что 2 ≤ |S_i| ≤ n – 1 для i = 1,2, … ,n – 2. Докажите, что существует перестановка чисел 1,2, … ,n, которая разбивает все подмножества .

Задача 5:

На вечеринке у каждых двух человек есть ровно один общий друг. Докажите, что существует такой человек, который является другом всех остальных.