ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Заочные и дистанционные олимпиады >> Internet Mathematics Olympiad >> 2001 >> ИюньПоказать решения
Internet Mathematics Olympiad. 2001. Июнь

Задача 1:

Докажите, что для произвольных положительных x1,x2,x3,x4,x5 выполняется следующее неравенство: (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)² ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1).

Задача 2: ABC – треугольник на координатной плоскости, вершины которого имеют целые координаты. Предположим, что только одна точка с целыми координатами находится внутри ABC (но нет никаких ограничений на точки на сторонах). Докажите, что площадь треугольника ABC не превосходит 9/2.

Задача 3:

Докажите, что любое натуральное число n может быть представено в виде

где a и b – натуральные числа.

Задача 4:

Пусть U = 1,2, … ,n,  π  = (i1,i2, … ,in) – перестановка чисел 1,2, … ,n, а S – подмножество U. Мы говорим, что  π  разбивает S, если S ≠ ik,ik + 1, … ,im для всех k и m. Например,  π  = (1,3,5,4,2) разбивает 1,2,3, но не 3,4,5.

Пусть  – семейство подмножеств U таких, что 2 ≤ |Si| ≤ n – 1 для i = 1,2, … ,n – 2. Докажите, что существует перестановка чисел 1,2, … ,n, которая разбивает все подмножества .

Задача 5:

На вечеринке у каждых двух человек есть ровно один общий друг. Докажите, что существует такой человек, который является другом всех остальных.



Задачная база >> Заочные и дистанционные олимпиады >> Internet Mathematics Olympiad >> 2001 >> ИюньПоказать решения