Задача 1: APCQ – параллелограмм. Докажите, что ABCD – параллелограмм тогда и только тогда, когда BQDP – параллелограмм.

Задача 2: Заседания научной конференции будут проходить в трех секциях: алгебры, геометрии и комбинаторики, а официальными языками конференции объявлены русский, английский и китайский. Известно, что каждый участник конференции собирается сделать два доклада на разных секциях и владеет ровно двумя из этих языков. Организаторы хотят провести конференцию за два дня и так составить ее расписание, чтобы в течение дня никто из участников не переходил из одной секции в другую, но все присутствующие могли бы понять каждый доклад. Всегда ли организаторы сумеют так сделать?

Задача 3: Сколько граней может иметь пересечение двух четырехугольных пирамид?

Задача 4: Найдите все натуральные x, для которых x(x^x – 1)^x – 1 – x^x = 2001

Задача 5: Внутри многоугольника произвольно выбраны две точки A и B. Докажите, что найдется такая вершина P этого многоугольника, что угол ABP – тупой.

Задача 6: Юра получил одинаковые результаты, перемножив две разных пары трехзначных чисел, совокупная запись которых содержит только две различных цифры (например, 222 на 333 и 232 на 323). Докажите, что он ошибся.