Задача 1:

Найдите количество шестерок множеств A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆ (не обязательно различных), элементами которых являются натуральные числа от 1 до n таких, что любое число от 1 до n, принадлежащее хотя бы одному из множеств, содержится либо ровно в трех из них, либо во всех шести.

Задача 2:

Найдите наибольшее вещественное C₁ и наименьшее C₂ такие, что для любых положительных чисел a,b,c,d,e выполняется неравенство

Задача 3:

Найдите все наборы из n функций (f₁,f₂, … ,f_n), таких, что для любых вещественных x,y:

Задача 4:

Через точку P внутри треугольника ABC провели прямые k,l,m. Прямая k пересекает сторны AB и AC в точках A₁,A₂, прямая l пересекает BC и BA в точках B₁,B₂, а прямая k пересекает CB и CA в точках C₁,C₂. Притом PA₁ = PA₂, PB₁ = PB₂, PC₁ = PC₂. Докажите, что последними тремя равенствами прямые k, l и m задаются однозначно. Докажите, что существует единственная точка P, для которой треугольники AA₁A₂, BB₁B₂ и CC₁C₂ равновелики, и найдите ее.

Задача 5:

Целочисленная последовательность a_n удовлетворяет рекуррентному соотношению . Докажите, что среди членов последовательности не более одного точного квадрата.

Задача 6:

Решите систему уравнений в неотрицательных вещественных числах:

Задача 7:

Решите уравнение x^x + y = y^y – x в натуральных числах.

Задача 8:

По одну сторону прямой l взяли точки P и Q. Точки M и N – проекции точек P и Q на прямую l. Точка S лежит между прямыми PM и QN, притом PM = PS и QN = QS. R – точка пересечения серединных перпендикуляров отрезков SM и SN. Прямая RS вторично пересекает окружность, описанную около треугольника PQR в точке T. Докажите, что S – середина отрезка RT.

Задача 9:

Раскраска узлов целочисленной решетки и отрезков с концами в узлах называется правильной, если

1. каждый покрашенный отрезок параллелен либо одной из координатных осей, либо одной из прямых y = x, y =  – x;
2. каждый покрашенный отрезок содержит ровно 5 покрашенных точек;
3. любые два отрезка имеют не более одной общей точки.

К правильной раскраске разрешается добавить еще одну точку и один отрезок так, чтобы получилась правильная раскраска. Существует ли такая раскраска, для которой такой процесс может продолжаться бесконечно долго?