ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1989Показать решения
Международные соревнования. Азиатско-Тихоокеанская МО. 1989

Задача 1:

x1,x2, … ,xn – положительные числа, S = x1 + x2 +  • s + xn. Докажите, что

Задача 2:

Докажите, что уравнение 6(6a² + 3b² + c²) = 5n² не имеет целочисленных решений, отличных от a = b = c = n = 0.

Задача 3:

A1,A2,A3 – три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой. Для удобства, положим A4 = A1,A5 = A2. При n = 1,2,3,4 Bn – середина отрезка AnAn + 1, а Cn – середина AnBn. При n = 1,2,3 прямые AnCn + 1 и BnAn + 2 пересекаются в точке Dn, а прямые AnBn + 1 и CnAn + 2 – в точке En. Найдите отношение площадей треугольников D1D2D3 и E1E2E3.

Задача 4:

S – множество, состоящее из m пар (a,b) натуральных чисел, удовлетворяющих условию 1 ≤ a < b ≤ n. Докажите, что существует по крайней мере троек чисел (a,b,c) таких, что (a,b), (a,c) и (b,c) принадлежат S.

Задача 5:

Найдите все функции f, определенные на множестве вещественных чисел, такие, что

где через f – 1 обозначена функция обратная к f.



Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1989Показать решения