ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1993Убрать решения
Международные соревнования. Азиатско-Тихоокеанская МО. 1993

Задача 1:

ABCD – четырехугольник, все стороны которого равны и  ∠ ABC = 60°. l – прямая проходящая через D и не пересекающаяся четырехугольник ни в какой другой точке. E и F – точки пересечения l с прямыми AB и BC соответственно, M – точка пересечения CE и AF. Докажите, что AC² = CM • CE.

Задача 2:

Найдите общее число различных целых значений, принимаемых функцией f(x) = [x] + [2x] + [5x/3] + [3x] + [4x] на отрезке [\,0,\,100\,].

Задача 3:

Даны два ненулевых многочлена с вещественными коэффициентами f(x) и g(x) такие, что g(x) = (x + r)f(x), для некоторого вещественного r. Пусть a =  max (|a0|,|a1|, … ,|an|), c =  max (|c0|,|c1|, … ,|cn + 1|), где ai – коэффициенты многочлена f, а ci – коэффициенты g. Докажите, что если степень многочлена f равна n, то a/c ≤ n + 1.

Задача 4:

Найдите все натуральные n, при которых уравнение xn + (2 + x)n + (2 – x)n = 0 имеет целое решение.

Задача 5:

P1,P2, … ,P1993 = P0 – различные точки плоскости такие, что

Докажите, что на одном из отрезков PiPi + 1 найдется точка Q с координатами (qx,qy) такая, что числа 2qx и 2qy – нечетные целые.



Задачная база >> Международные соревнования >> Азиатско-Тихоокеанская МО >> 1993Убрать решения